Equation f(x)=k : existence et unicité de la solution

Voir aussi : Image d'un intervalle par une fonction , Théorème de la valeur intermédiaire , Résolution graphiques d'équations et d'inéquations

Fonction non monotone

Fonction non continue

Fonction continue et strictement monotone

Théorème
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b] alors pour tout réel k de l'intervalle d'extrémités f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique dans l'intervalle [a,b].

Fonction non monotone

La fonction représentée est continue mais elle n'est pas monotone sur l'intervalle [a,b].
Observer, en déplaçant k dans l'intervalle [f(a),f(b)], le nombre de solutions de l'équation f(x)=k.

cliparts/haut.gif

Fonction non continue

La fonction représentée est strictement monotone mais elle n'est pas continue sur l'intervalle [a,b].
Observer, en déplaçant k dans l'intervalle [f(a),f(b)], le nombre de solutions de l'équation f(x)=k.

cliparts/haut.gif

Fonction continue et strictement monotone

La fonction représentée est continue et strictement monotone sur l'intervalle [a,b].
Observer, en déplaçant k dans l'intervalle [f(a),f(b)], le nombre de solutions de l'équation f(x)=k.

cliparts/haut.gif